Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

| 3 |= 3

|−3|= 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

|x₁ − x₂|

Где x₁ и x₂ — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

|2 − 5| = |−3| = 3

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

|5 − 2| = | 3 | = 3

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

|x₁ − x₂| = |x₂ − x₁|

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x₁ до x₂ равно расстоянию от x₂ до x₁.

Видео

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение \( \left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|\)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

\( \displaystyle \sqrt{3} \approx 1,7\). Получается, значение первого выражения под модулем \( \displaystyle \sqrt{3}-2\approx 1,7-2\approx -0,3\text{ }\).

\( -0,3<0\), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом \( |\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \( \mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если \( \mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \( \displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \( a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если \( a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \( |\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \( a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \( 0\):

Если \( a=0\), то \( |\mathbf{a}|=\mathbf{a}\), или \( \displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

\( \left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)\( \left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)А теперь потренируйся:

• \( \left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
• \( \left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
• \( \left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
•  \( \left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
• \( \left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: \( \left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим \( 2-\sqrt{5}\):

\( 2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если \( 2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \( 2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \( 2-\sqrt{5}<0\)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

\( \left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)Разобрался? Тогда попробуй сам:

• \( \left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)
• \( \left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)
• \( \left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)
• \( \left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

Модуль числа

Сформулируем на строгом языке математики наше интуитивное представление о «величине» числа, которое мы сформировали в предыдущем разделе.

О

Модуль или абсолютная величина вещественного числа x — само число x , если оно неотрицательно, иначе − x . ∣ x ∣ = { − x ,   если   x ≥ − x ,   если   x < ​

Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа a. Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число a положительное или равно , то модулем a и является само a. Если же a меньше , то результатом модуля будет −a.

П

Примеры значений модуля ∣ 5 ∣ = 5 ∣ ∣ = ∣ − 1 2 ∣ = − ( − 1 2 ) = 1 2

Легко убедиться, что модуль числа полностью соответсвует по смыслу «величине» числа, рассмотренной в предыдущем разделе. Там мы утверждали, что по «величине» −1 больше 5, а −1 равно 1. И действительно:

∣−1∣=1∣−1∣=1​∣5∣=5∣−1∣>∣5∣∣1∣=1∣−1∣=∣1∣​

Т

Эквивалентное определение модуляПоложение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения: ∣ x ∣ = { − x ,   если   x ≥ − x ,   если   x < ​ = { − x ,   если   x > − x ,   если   x ≤ ​ ДоказательствоОбозначим второе определение модуля числа x как ∣ x ∣ ′ . Покажем, что какой x не возьми, будет выполняться ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Пусть x > . По классическому определению ∣ x ∣ = x . По второму: ∣ x ∣ ′ = x . То есть ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Пусть x = . По классическому определению ∣ ∣ = . А вот во втором определении попадает уже под второе условие, то есть ∣ ∣ ′ = − = . Опять имеем ∣ ∣ = ∣ ∣ ′ . Наконец, пусть x < . По классическому определению ∣ x ∣ = − x . У второго определения та же ситуация: ∣ x ∣ ′ = − x . Получается, что и в этом случае ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Итак, мы рассмотрели все возможные значения для x и во всех случаях ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы ■

Такое определение иногда бывает полезно. Например, если x лежит в следующих пределах: −1≤x≤, то можно сразу сказать, что ∣x∣=−x, даже несмотря на то, что для x= так выражаться будет некорректно, ведь ∣∣=, а не −.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

• |a| > 0 

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

• |a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

• |−a| = a

4. Модуль нуля равен нулю.

• |0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

• |−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

• |a b| = |a| |b|, когда

a · b = 0

или

−(a · b), когда a · b < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

• 

Уравнения и неравенства с модулем

Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.

Уравнения

Приступая к задачам с ​\( \left|M\right| \)​, нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное.​\( \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. \)​ Поэтому решить нужно оба варианта уравнения:                    x = 3 — 5  x = 3 — (- 5)                    x = — 2     x = 8Корни уравнения: — 2 и 8.Или посложнее: ​\( \left|6-5x\right|=2x+1 \)​Сразу напомним себе, что ​\( 2x+1\geq0 \)​, следовательно, ​\( 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 \)​.Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком ​\( \left|M\right| \)​:6 — 5x = 2x + 1 или 6 — 5x = — 2x — 1 7x = 5                        3x = 7x = ​\( х=\frac57 \)​                x = ​\( х=\frac73 \)​                                          x = ​\( х=2\frac13 \)​Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: ​\( \frac57 \)​ и ​\( 2\frac13 \)​.

Неравенства

Здесь тоже приходится учитывать двойственную природу ​\( \left|M\right| \)​. Если в уравнениях мы обозначаем условие ​\( \left|x\right|=a\;и\;\left|x\right|=-a \)​, то в неравенствах помещаем содержимое модуля “меж двух огней” таким образом (табл. 1):

Таблица 1. Неравенства

Важно! Если ​\( \left|M\right| \)​ меньше числа, то мы “упаковываем” его содержимое внутрь числового промежутка. Если ​\( \left|M\right| \)​ больше числа, то оно “вырывается” за его границы.Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: ​\( \left|x-6\right|<12 \)​ (помним про возможные “+12” и “-12”).Определим промежуток для ​\( \left|М\right|:-12<x-6<12 \)​Составим систему из двух неравенств и решим их:\( -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 \)  ​\( \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 \)​Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18).А теперь то же самое с противоположным знаком: ​\( \left|x-6\right|>12 \)​Выражение в ​\( \left|M\right| \)​ должно стать “меньше маленького” и “больше большого”:\( \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 \)\( x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 \)Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; — 6) ∪18; + ∞).

Расстояние между точками

Представим числовую ось. Отметим на ней две точки, например 5 и 3. Какое между ними расстояние? Ничего сложного, скажете вы, расстояние равно 5−3=2. И это правильный ответ. Сразу заметим, что 3−5=(−1)(5−3)=−2, то есть при вычитании из меньшей точки большей получаем то же расстояние, но со знаком минус.

Расстояние между точками −2 и −4 равно −2−(−4)=2. И опять, если мы поменяем местами числа в разности, то получим отрицательное расстояние −4−(−2)=(−1)(−2−(−4))=−2

Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния между двумя точками, надо из большей точки вычесть меньшую. Если сделать наоборот, то получим противоположное, отрицательное расстояние.

Вроде все ясно. Ну и причем здесь модуль? А вот представим, что у вас нет точных значений. Вам просто дали точки a и b, и попросили найти расстояние между ними. Какая-то из двух разностей ниже будет расстоянием:

a−bb−a

Но какая именно? Тут к нам и приходит на помощь модуль. Расстояние между a и b обозначим так:

∣a−b∣

Если a>b, то мы угадали с разностью и получим положительный результат. Взятие модуля никак на него не повлияет. Если a<b, то мы не угадали и получаем отрицательное расстояние. Но, по определению модуля, в результате все-равно получим положительное расстояние.

О

Расстоянием между двумя точками a и b на числовой оси называется модуль их разности: ∣ a − b ∣ .

Наконец, поговорим о модулях одного числа, например ∣5∣ или ∣−2∣. Их можно представить вот так:

∣5∣=∣5−∣∣−2∣=∣−2−∣

В этом смысле модуль одного числа можно понимать как расстояние от до этого числа (до 5 и до −2) на числовой оси.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

1. Модулем любой цифры является величина неотрицательная. Таким образом, абсолютным значением положительной величины будет выступать она сама. Графически эта закономерность выражается следующим образом: |a| = a, если a> 0.
2. Модули противоположных величин равны друг другу Это объясняется тем фактом, что на координатной прямой противоположные числа хотя и располагаются в разных точках, но находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки отсчёта. Графически это выражается как: |а| = |-а|.
3. Третьим свойством является то, что абсолютным значением нуля равняется сам нуль. Это условие считается верным в том случае, когда действительное число является нулем. Поскольку нулю соответствует начало отсчета в системе координат, то модулем числа ноль является сам ноль по определению. Графически: |0| = 0|.
4. Еще одним важным свойством является то, что абсолютное значение произведений двух любых действительных чисел равняется произведению двух этих величин. Это условие необходимо рассмотреть более подробно. Иначе говоря, абсолютным значением произведения величин, А и В будет АВ в случае если оба этих значения положительные или же оба отрицательные, или -АВ при условии, что одно из этих чисел будет отрицательным. В записи эта закономерность будет выглядеть следующим образом: |А*В| = |А| * |В|.
5. Абсолютная величина суммы любых двух действительных чисел меньше или равна сумме их модулей.
6. Абсолютная величина разности двух произвольных величин меньше или равна разности двух абсолютных величин.
7. Если в математическом выражении имеется постоянный положительный множитель, его можно выносить за знак | |.
8. Такое же правило распространяется и на показатель степени выражения.

Это интересно: что такое разность в математике?

Тест для закрепления материала

1. 1 Модуль числа не может быть:
   • Положительным
   • Отрицательным
   • Равным нулю

   Вопрос 1 из 10

2. 2 Модуль отрицательного числа равен:
   • Самому числу
   • Нулю
   • Противоположному числу

   Вопрос 2 из 10

3. 3 Чему равен модуль числа — 3,82?
   • 3,82
   • — 3,82

   Вопрос 3 из 10

4. 4 Найдите расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (7,8):
   • 7,8
   • — 7,8

   Вопрос 4 из 10

5. 5 Чему равен модуль точки, лежащей от начала отсчета влево на 3,3 единицы?
   • 6,6
   • — 3,3
   • 3,3

   Вопрос 5 из 10

6. 6 Найди отрицательное число, модуль которого равен 25:
   • — 50
   • — 25
   • 25

   Вопрос 6 из 10

7. 7 Выберите все числа, имеющие модуль 45:
   • 45; — 45; 0
   • — 45; 0; 45
   • 45; — 45

   Вопрос 7 из 10

8. 8 Модуль какого из чисел расположен на координатной прямой правее 567 или — 765?
   • 567
   • — 765
   • Никакого

   Вопрос 8 из 10

9. 9 Модуль какого из чисел 354 или — 289 больше:
   • 354
   • Равны
   • — 289

   Вопрос 9 из 10

10. 10 Найдите значение выражения: |- 240| — |90|:
    • — 330
    • 150
    • 330

    Вопрос 10 из 10

Пройти тест заново

Теги